复数方程求根公式怎么求（复数的立方根怎么求）

复数的立方根是一个老大难问题。

对复数z=a+bi，当b=0时，它是一个实数。实数的立方根在实数的范畴上是唯一的，即z=a的立方根是三次根号a. 但在复数的范畴上，每一个实数都有三个立方根。

特别的，设(x+yi)^3=1, 则x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i=1, 即x^3-3xy^2=1, 3x^2y-y^3=0. 由后式有y=0或3x^2=y^2. 当y=0时，x+yi=1；当y^2=3x^2时，有x^3-9x^3=1，解得x=-1/2，y=正负根号3/2. 因此1的立方根有1和-1/2+根号3 i/2或-1/2-根号3 i/2.

从而，z=a属于实数，有三个立方根，分别是三次根号a和三次根号a (-1/2加减根号3 i/2).

当a=0时，复数z=bi. 特别的，设(x+yi)^3=i. 则x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i=i, 即x^3-3xy^2=0, 3x^2y-y^3=1. 由前式有x=0或，x^2=3y^2. 当x=0时，x+yi=-i；当x^2=3y^2时，有9y^3-y^3=1，解得y=1/2，x=正负根号3/2. 因此i的立方根有-i和-根号3/2+i/2或根号3/2+i/2.

从而，z=bi，有三个立方根，分别是-三次根号b i和三次根号b (正负根号3/2 - i/2).

当a=b=c不等于0时，z=c+ci. 特别地，设(x+yi)^3=1+i, 则x^3-3xy^2=3x^2y-y^3=1.

x^3+y^3=3xy(x+y), 即(x^2-4xy+y^2)(x+y)=0. 若x=-y, 则3y^3-y^3=2y^3=1，y^3=1/2.

y=三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(-1/2+根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(-1/2-根号3 i/2).

x=-三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(1/2-根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(1/2+根号3 i/2).

从而z=c+ci有三个立方根，分别是：(若x^2-4xy+y^2=0会得到相同的结果，下同)

-三次根号(c/2)*(1-i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 i/2)+(-1/2+根号3 i/2)i)或三次根号(c/2)*((1/2+根号3 i/2)+(-1/2-根号3 i/2)i).

化简得：-三次根号(c/2)*(1-i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 /2)-(1/2+根号3 /2)i)或三次根号(c/2)*((1/2+根号3/2)-(1/2-根号3 /2)i).

当a=-b=c时，z=c-ci. 特别地，设(x+yi)^3=1-i, 则x^3-3xy^2=y^3-3x^2y=1.

x^3-y^3=-3xy(x-y), 即(x^2+4xy+y^2)(x-y)=0. 若x=y, 则y^3-3y^3=-2y^3=1，y^3=-1/2.

y=-三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(1/2-根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(1/2+根号3 i/2).

x=-三次根号(1/2)或三次根号(1/2)*(1/2-根号3 i/2)或三次根号(1/2)*(1/2+根号3 i/2).

从而z=c-ci有三个立方根，分别是：

-三次根号(c/2)*(1+i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 i/2)+(1/2-根号3 i/2)i)或三次根号(c/2)*((1/2+根号3 i/2)+(1/2+根号3 i/2)i).

化简得：-三次根号(c/2)*(1+i)或三次根号(c/2)*((1/2+根号3 /2))+(1/2-根号3 /2)i)或三次根号(c/2)*((1/2-根号3 /2)+(1/2+根号3 /2)i).

事实上，利用“共轭复数的方根也共轭”，就可以直接由c+ci的三次方根得到c-ci的三次方程了。接下来要将任意复数z=a+bi求三次方根。只能引入三角函数的反三角函数了。

记 z=根号(a^2+b^2)(cosθ+isinθ), 其中θ=2kπ+arcsin(b/根号(a^2+b^2)) (k是整数). 特别的，当根号(a^2+b^2)=1时，z=(cosθ+isinθ)，三次根号z=三次根号(cosθ+isinθ)=e^(θi/3)=cos(θ/3)+isin(θ/3).

因此z=a+bi的三次方根是六次根号(a^2+b^2)*(cos(θ/3)+isin(θ/3))，其中θ=2kπ+arcsin(b/根号(a^2+b^2)) (k是整数).

k取不同的值，就会得到z的不同的三次方根。老黄认为，取 k=-1，0, 1. 得到三个三次方根比较合适。