直角三角形中线的性质证明（直角三角形斜边上的中线例题）

昨天我们探究以矩形为背景的最值问题，今天我们来学习下矩形中另外一个重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

关于直角三角形斜边上的中线，有三个重要的结论：

接下来我们来看下几道关于直角三角形斜边上中线的典型综合题。首先我们来看下遇到直角三角形斜边上的中点，构造直角三角形斜边上的中线来解决问题，题目如下：

研题策略：已知∠AEB=∠AFB=90°及O是AB的中点，则连接OE,OF可得出OE,OF都等于AB的一半，可知△OEF，△AFO，△AOE为等腰三角形（模型中图2情况），结合三角形外角定理可得∠FOB=2∠FAB，∠EOB=2∠EAO，则可求出∠FOE的度数，又因为OE=OF可得∠EFO=∠OEF，根据三角形内角和180°，即可求出∠OEF的度数，具体过程如下：

第二小题连接OF后，同样会得到△AOF，△AOE，△OEF为等腰三角形（模型中的图3情况），结合三角形的三角形定理和内角和，即可求出∠OEF的度数，思路与第一小题相同，在这里不再赘述，具体过程如下：

接下来我们来看下第二题，原题如下：

第二题主要考察直角三角形中，取斜边中点构造斜边上中线来进行线段等量代换。根据∠C=90°，AD//BC可得△EAD为直角三角形，题目要求证DE=2AB，我们会发现DE是直角三角形的斜边，所以我们只需要取DE中点F，连接AF即可得到DE=2AF，题目就转化成求证DE=AB，只需要运用等角对等边即可求助求证DE=AB，具体过程如下：

接着我们继续来看一道遇到直角三角形通过构造直角三角形斜边上的中线来求证线段数量关系的题目，原题如下：

本题要求证CD等于BE的一半，我们会发现BE是直角三角形的斜边，只需构造斜边上的中线DF，求证DF=DC即可，只需求证∠DFC=∠C即可得到DF=DC，所以问题就转化成求证∠DFC=∠C，又因为AB=AC，则只需要求证∠DFC=∠ABC问题也就变得非常简单了，具体解题过程如下：

最后我们来看两道遇到共斜边的直角三角形，取斜边中点，分别连双中线进行线段等量代换的题目，原题如下：

先来看下第一小题，我们会发现O是BC的中点，而BC既是直角△BEC的斜边，也是直角△BDC的斜边，连接OD，可得OD=OE，即△OED为等腰三角形，只需要求证∠EOD=60°，则可得到DE=OE，具体解题过程如下：

接着来看下第二小题，第二小题其实如果对刚才出现的三大模型熟悉的话，辅助线非常容易构造，即连接EM,DE，则EM=DM，且都等于BC的一半，即△MED为等腰三角形，又因为N是DE的中点，即可求得MN⊥DE，过程如下：

第二小题的第二小问其实也相对比较简单，只需要求证三角形MDE为等边三角形，即可得出MN与DE之间的数量关系。具体过程如下：

通过今天的学习希望孩子们掌握直角三角形斜边上的中线的三大模型以及对应的解题策略，明天我们继续努力。