初中数学之三角形最少有几个锐角 三角形三条边之间的关系

一、概念

由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相连而构成的平面图形 叫 三角形。

注意其中：①不在同一直线上(或说不共线);②是三条线段;③首尾顺次相连 这三个条件缺一不可。

二、分类

(1)按角分类：分为 斜三角形(包括锐角三角形 和 钝角三角形)

直三角形(即直角三角形)

(2)按边分类：分为 不等边三角形

等腰三角形(包括只有两边相等/或说是底腰不等的三角形 和 三边相等/即等边的三角形)

注：①、等边三角形是特殊的等腰三角形;

②、一个三角形中最多只有一个钝角，最少有二个锐角。

三、三角形的三边关系

1、三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边。( 即 a+b>c ,或a+c>b ,或b+c>a )

2、推论：三角形的任意两边之差小于第三边。

特别注意：(1)、以上两点就是判断任意给定的三条线段能否组成三角形的条件，但在实际做题时，并不需要去分析全部三组边的大小关系，可简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条较短线段之和时，或 当三条线段中最短的线段大于另两条较长线段之差的绝对值时，即可组成三角形。

(2)、已知三角形的两边a，b(a>b)，则第三边c的取值范围为：a–b < c < a + b

(3)、并不需要知道三条线段的具体长度，而只要根据它们长度的比值，即可判断是否可组成三角形。

例ⅰ：现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成_______个三角形。

例ⅱ：下列几组长度的线段能组成三角形的是：_____________

①、3a ,5a ,8a(a>0) ②、a² + 3 ,a² + 4 ,a² + 7 (a≠0) ③、3a , 4a , 2a + 1 (a>1/5)

四、有关三角形边长的综合问题

1、等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边，题目中往往并不直接说明腰和底边，因此，解题时要分类讨论，以免丢解。

例ⅰ：等腰三角形的周长为24cm，其中两条边长的比为 3 ：2，求该等腰三角形的三边长。

例ⅱ：已知等腰三角形的周长是16cm，

(1)若其中一边长为6cm，求另外两边长; (2)若其中一边长为4cm，求另外两边长。

例ⅲ：在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将三角形周长分为21和12两部分，求这个三角形的腰长和底边长。

注：根据三角形三边关系，若等腰三角形的腰长为a，则底边长x 的取值范围是：0 < x < 2a ;

若等腰三角形的底边为a，则腰长x 的取值范围是：x > a/2

五、三角形的外角及其性质

三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等(对顶角相等)。一共有六个外角。

其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加(一共三个外角相加)，叫三角形的外角和。

根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和 = 360 度。

性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。(常用于解决角的不等关系问题)

例ⅰ：等腰三角形的一个外角等于100度，则这个等腰三角形的三个内角分别是多少度?

例ⅱ：试用合适的方法说明五角星的五个顶角和等于180°(图自画)

注：(1)、△ABC内有一点O，连接BO、CO，则有∠BOC = ∠A + ∠ABO +∠ACO 图略

(2)、△ABC内有一点M，连接BM、CM，BO、CO分别是∠ABM 和∠ACM的平分线，则有∠BOC =(∠A +∠BMC)/2

(3)、一个五角星，五个顶角的和等于180度。(可利用性质1和三角形的内角和来加以证明)

(4)、BO、CO分别是△ABC的内角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC = 90°+ ∠A/2

(5)、BO、CO分别是△ABC的外角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC = 90°- ∠A/2

(6)、BO是△ABC的内角平分线，CO是△ABC的外角平分线，BO、CO相交于点O，则∠BOC = ∠A/2

(7)、①锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补;②直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等;③钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。

※ 请自行用合适的方法说明以上各点!