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初中

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

圆是古人最早认知的几何图形之一,他们使用绳子在丈量土地时,发现只要一个人拿着绳子一端原地不动,一人拉着绳子另一端移动,就会画出一个圆形。因而意识到圆有两个核心要素:圆心和半径。

圆的定义:在同一平面内到一个定点(O)的距离(R)点的集合叫做圆,这个定点叫做圆的圆心(O)。

需要注意的是,我们通常说的圆是指圆周,就是到圆心距离相等的点的集合,并不包含圆心。这些点组成了圆形。在一些几何题中的圆也不会给出圆心,如:一个三角形的外接圆或内切圆,但只要给出了圆,就可以很容易获得圆心。

圆的半径:

连接圆上任意一点和圆心的线段叫做半径(AO),一般用r(radius)表示。

圆的直径:

初中教科书上说,连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。其实我们可以这样理解,一条经过圆心的直线与圆相交两点,连接这两点的线段叫做直径(AB),一般用字母d(diameter)表示。由于圆心O到点A和点B的线段均等于半径,所以直径的长度是2倍的半径长度,即d=2r。

圆的周长:

古代数学家将大小不同的圆环沿着直尺滚动一周后发现,圆的周长总是以圆的直径乘以某个常数,这个常数就是我们现在熟知的圆周率(π)。然而当时的人们却发现π不是一个整数,似乎无论如何都无法得到π的准确值,这个困扰了人们上千年之久,直到1761年德国数学家约翰·海因里希·兰伯特使用连分数法证明了π是无理数(无限不循环小数)。在1844年法国数学家刘维尔证明了超越数的存在性之后的1882年,德国数学家林德曼证明了圆周率是超越数。圆周率π的神秘面纱才被真正揭开了。

既然圆的周长是某个常数乘以直径,我们就先获得了圆的周长的公式:

C=πd 或 C=2πr。

周长用字母C(circumference)表示

圆周率π的计算:

现在很多人都理所当然认为π是常数,但并没有想过π为什么是常数?如果π不是常数,且是无限不循环小数,那么我们禅精竭虑计算出π的值将没有任何意义。

首先,证明π是常数的过程:(没学过“相似三角形”可以直接看结论)

作两个以O点为圆心,半径为R1和R2的同心圆。再分别作两个圆的内接正n边形( n= 10),且保证正两个正多边形过圆心的对角线重合。两个正多边形的边长分别为K1和K2。

我们通过:

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

从而我们获得结论:

圆的周长(πd 或2πr)只跟半径相关, 则π为常数。

π的计算:

与证明π为常数的方法一样,人们在计算π的值同样使用圆内接正n边形,n越大,正n边形的周长越接近圆的周长,从而计算出更加精确的π值。这就是“割圆法”。

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

上图是古希腊数学家阿基米德(公元前287年—公元前212年)通过正96边形获得的π值。我国的数学家祖冲之(公元429年—公元500年)在公元460年进一步得出精确到3.1415926和3.1415927之间,这个则达到了正24000边形。这个在之后的800年都是最精确的π值。

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

细心的同学会发现“割圆法”中的正n边形,n都是6的倍数。

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

这是因为利用直角三角形性质,我们可以比较容易计算出

圆周长的计算公式是什么(圆的周长和圆周率怎么计算)

这些角对应的边长(具体将在以后介绍)。

趣闻

  1. 2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。 [16]
  2. 国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日,旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw,他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈(22/7,π的近似值之一)的圆周运动,并一起吃水果派。之后,旧金山科学博物馆继承了这个传统,在每年的这一天都会举办庆祝活动。
  3. 2020年,一个名为北阿拉巴马慈善计算的非营利组织的创始人蒂莫西·穆利肯使用个人电脑,将数值计算到小数点后50万亿位,耗时303天。 [23]
  4. 2021年8月17日,美国趣味科学网站报道,瑞士研究人员使用一台超级计算机,历时108天,将著名数学常数圆周率π计算到小数点后62.8万亿位,创下该常数迄今最精确值记录。

为什么科学家现在还在计算π的值?

当1882年德国数学家林德曼证明了圆周率是超越数后,人们开始意识到这个世界的神奇。目前存在自然界中的超越数只有两个π(圆周率)和e(自然对数),其他的超越数都是人为定义的。人们相信如果能找到更多的超越数,揭开这些超越数的神秘面纱,我们就能探索到宇宙的尽头。

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