三角形重心的三个重要性质(三角形的重心怎么证明)
三角形重心是三角形三条中线的交点,是一个非常特殊的点,具有很多特殊的性质。有些涉及重心的问题,直接使用这些性质会事半功倍。下面简要总结一下。
1.三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
△ABC中,AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线,交点为O。则AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
证明:
如图,连接EF与AD交于G,由三角形中位线定理知,EF∥BC。又因E为AC中点,因此G是AD中点。
因为△EOG∽△BOD,且相似比为1:2,因此可计算出:
AG:GO:OD=3:1:2,于是AO:OD=2:1。其他同理。
这个定理在一些给出重心要求计算边长关系的问题中相当有用。
2.三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等
△ABC中,AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线,交点为O。则S△AOB=S△BOC=S△COA
证明:先证S△AOB=S△BOC,其他同理。
(计算三角形面积基本上要做“高”的辅助线)
因为△AOB=△BOC同底,因此其面积比等于高长比
过A做AP⊥BE于 P,过C做CQ⊥BE延长线于Q。
因E是AC中点,AE=CE,由AAS定理易得△AEP≌△CEQ
因此AP=CQ
S△AOB:S△BOC=AP:CQ=1,因此S△AOB=S△BOC
3.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如图,O是△ABC内一点,O到三条边的距离分别为h₁、h₂、h₃。
求证:当O为△ABC的重心时,h₁•h₂•h₃取最大值
证明:设三角形三条边长分别为a、b、c,连接AO、BO、CO。
S△ABC= S△AOB+ S△BOC+ S△COA =1/2(a•h₁+b•h₂+c•h₃)
给定了△ABC,那么S△ABC是定值,三边长a、b、c也是定值。
变化的是O的位置,也就是h₁、h₂、h₃是变量。
若求h₁•h₂•h₃的最大值,那么最直观的是使用基本不等式。
利用不等式的思想就是:“将变量向定量上凑”。
因为给定的定量是三角形的边长和面积,那么就要凑出
h₁•h₂•h₃≤X(X是定值)的形式,且一定是朝着
S△ABC=1/2(a•h1+b•h2+c•h3)的方向做变换
积与和之间的基本不等式为:几何平均数≤算数平均数
当有两个变量时,其形式为:
当有三个变量时,其形式为:
于是我们可以得到:
(当且仅当ah₁=bh₂=ch₃时等号成立,等号成立的条件极其重要)
那么,无需继续进行计算,只需要知道当ah₁=bh₂=ch₃时,h₁•h₂•h₃取最大值即可。
那么此时S△AOB=S△BOC=S△COA,即O是重心。
因此,当O为△ABC重心时,到三边距离之积最大。
相关问答
-
有关纪念五四运动105年重要讲话心得
五四运动树立了一座推动中国历史进步的丰碑,孕育了“爱国、进步、民主、科学”的伟大精神。下面小编为大家带来有关纪念五四运动10
阅读更多 -
重要流程,医学方面的公务员什么单位
1、怎么报考卫计委公务员首先可以报考不限专业的,另外卫生局、体育局、食品药品监督局、公检法的法医部门、进出口检验检疫局、质
阅读更多 -
2023年考研后出国留学的重要性,(如今考研后,很多人有出国留学的念头
2023年考研后出国留学的重要性,在当今这个充满挑战的时代,通过考研获得高等教育文凭,已经成为许多年轻人的梦想。考研后,许多人都有出
阅读更多 -
2023签证结果查询官方网站(签证办理是国家之间人员往来的重要方式
2023签证结果查询的方式,签证是国家之间人员往来的重要方式之一,为了确保签证申请的公平、透明和高效,很多国家都建立了官方网站,供签
阅读更多 -
黄埔军校共有几任校长分别是谁啊 黄埔军校是一所什么性质的学校
在蒋辞去校长后,接替他的军校校长是谁呢? 他就是军校教育长关麟征中将。而这位关校长在一九四八年升任陆军副总司令,仍兼军校校长
阅读更多 -
南京的地理位置,城市性质是什么 城市性质与城市职能的区别与联系
地理位置: 南京位于长江下游中部地区,江苏省西南部,是国家区域中心城市(华东),长三角辐射带动中西部地区发展的国家重要门户城市,
阅读更多
最新问答
-
奋进新时代做好接班人作文范文
2024-05-17 -
山西省(2024)特岗教师招聘公告发布
2024-05-17 -
河南多所高校公布暑假时间
2024-05-17 -
中国音乐学院本科招生章程2024年
2024-05-17 -
首都经济贸易大学本科招生章程2024具体情况
2024-05-17 -
中国戏曲学院2024本科招生章程发布
2024-05-17 -
北京舞蹈学院(2024)本科招生章程
2024-05-17 -
2024山东高考少数民族加分政策
2024-05-17 -
2024广东省二本院校排名
2024-05-17 -
2024年高考时间是几月几号
2024-05-17