圆周率π是怎么算出来的(圆周率生活中的实际意义)
π是圆的周长和直径的比值,数学家已经证明它是一个无理数,也就是说在3.14后面还有无穷无尽、毫无规律的一串数字。这很容易理解。据说已经有人把这个数算到了小数点后几十亿位了。他是怎么算出来的?
我曾经想过用棉线来测圆的周长和直径,又一想,不行,棉线有弹性,误差太大。用弹性不那么大的铁丝吧,又很难做到和圆周完全吻合,就算能吻合得很好,铁丝拉直后测量时,又怎么能精确到小数点后十位八位的呢?就算测量精确,测出来的也是一个具体值,和另一个具体值--直径的比值也不是一个无理数呀!
我们来看一看阿基米德和祖冲之的办法吧:
做一个半径为r的圆,画出它的圆内接六边形和外切六边形。
这两个六边形的周长都很好算。分别是6r和4r。圆的周长必然在这个范围之内。也就是说,经过第一步的运算,得出了π值
的结论。然后把内接外切六边形变成正12边形,24边形、96边形……,随着边数的增加,这两个多边形的周长越来越接近圆的周长。利用勾股定理,能算出这些正多边形的周长。
这是一个繁琐的运算过程,每个步骤都要用到乘方和开方。不过只要有足够的耐心和细致,用蛮力运算就能做到越来越精确的圆内接六边形外切六边形的周长。除以直径2r就能得到越来越精确的π值了。阿基米德用这个办法得到了π约等于3.14,祖冲之用这种办法得到了π大于3.1415926小于3.1415927的成就,领先了全球1000多年。据推算,要算到正24576边形儿才能得到这个结果,真是了不起!这种从大、小两个方向逼近准确值的方法称为“夹逼法”。
这种算法是严格符合π的定义的,得到的π值也是无可争议的。但是随着多边形边数的增加,小数的位数越来越多,做平方、开方运算也越来越困难,工作量就像滚雪球一样越来越大,最终成为一座难以逾越的高山。在手工计算时代,把π再往前推进一步儿都要付出巨大的艰辛。
这时,数学家们发明了一种新的方法,把π用一系列数列的和或者乘积来表示。例如韦达公式:
但这些公式计算起来也并不简单。更实用的办法是,利用反正切函数来表示π。例如英国天文学教授约翰·马青提出的马青公式 :
斯图模公式:
等。公式里的反正切函数,可以用级数来计算,
利用这些公式,凭手工计算,1706年马青把π值推算到了101位。借助计算机,可以轻易地将π值计算到小数点后成千上万位。
令人惊讶的是,这些公式和圆、和π根本就扯不上什么关系,这些公式也各不相同,它们之间也看不出有什么相通之处,怎么就算出的数字完全一样,几千、几万、几十亿位之后,数字还完全一致,而且正好完全等于π呢?
说π中隐藏着自然之神的秘密,是有道理的。
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