相似三角形基本性质(相似三角形的定义和性质）

什么是相似三角形

对应边成比例的三角形是相似三角形

相似三角形的判定

①两个角对应相等的两个三角形相似（AA）

②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似(SAS)

③三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）

相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例

②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比

做高、做平分线，依然可以得到2对角相等，通过AA可以得到新的相似，可得高之比等于相似比

做中线，可以得到2对相似边和一对夹角，通过SAS得新的相似，可得高之比等于相似比。

周长就是三边之和，周长之比自然就是相似比

③相似三角形的面积比等于相似比的平方

面积=一条边×这条边的高，边之比是相似比，高之比是相似比，面积之比自然是平方比。

相似三角形的应用

通过相似三角形，证明三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。

D、E是中点，求证AO:OE=2:1

连接CE，易得DE//，AD=2DE,平行之后有很多角相等，很容易根据AA来证得△AOD∽△EOC,

所以AO:OE=AD:DE=2

这算是相似三角形的基本应用了，在解决数学问题中，往往借助相似三角形得出线段的比例关系。

相似三角形中的常见图形

1、‘A型图’

DE//BC，可得角相等，很容易通过AA得到△ADE∽△ABC

2、‘ X型图’

DE//BC，可得角相等，很容易通过AA得到△ADE∽△ABC

3、‘K型图’

‘K型图’的本质就是利用平角和180°、三角形和180°，你加我，我加他，最后得出等角。2对等角，就可以根据AA得到△ADE∽△ABC

4、母子型（有直角）

有公共角，有直角，根据AA可以得到大三角形和小三角形分别相似。相似之后，对2个小三角形来说，有两边对应成比例，且有夹角180°，根据SAS又可以得到2个小三角形相似。有直角的母子性，有三对相似。

母子型中特别重要的射影定理：

之所以叫射影，可以把CD看成垂直地面的一个杆子，CA是光线，AD是影子，CB是光线，DB是影子，形象、贴切！

这个杆子是公用的，也就是在相似三角形中，有一条边是公用的，这就有了如下等式：

AC、BC、CD之所以要平方，是因为它们在自己的相似三角形中，是公共边。有了这个定理，就可以做到，给2边求1边。之所以有3个等式，因为有三组相似！

当然我们还可以通过这个等式，得到两边对应成比例，这时候再来一夹角相等，我们也可以得到相似三角形。

所以说射影定理很好、很重要！

5、母子型（普通）

∠1=∠2，公共角∠C，根据AA得到△ABC∽△BDC.

因为相似只有一对，所以只能得到一个等式。