向量平行和共线有什么关系 空间向量的计算公式知识点总结

向量平行和共线有什么关系 空间向量的计算公式知识点总结

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量→(AB)的大小叫做向量的长度(或模)，记作|→(AB)|.

(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．

2．向量加法与减法运算

(1)向量的加法：

①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

②法则：三角形法则；平行四边形法则．

③运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

(2)向量的减法

①定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

②法则：三角形法则．

3．向量的数乘运算及其几何意义

(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．向量共线定理

向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况，因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

1．平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

(2)平面向量的正交分解

一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．

(3)平面向量的坐标表示

对于向量a，当它的起点移至原点O时，其终点坐标(x，y)称为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

2．平面向量的坐标运算

(1)加法、减法、数乘运算

(2)向量坐标的求法

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则→(AB)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标．

(3)平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，

则a与b共线⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.

(4)平面向量垂直的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b(如图)，作→(OA)＝a，→(OB)＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量的数量积

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|·cos θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|·cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

3．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

4．平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；

(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；特别地，a·a＝|a|2；|a|＝；

(4)cos θ＝|a||b|(a·b)；

(5)|a·b|≤|a||b|.

5．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

6．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|→(AB)|＝.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

(3)求夹角问题，利用夹角公式

cos θ＝|a||b|(a·b)＝2(2)(θ为a与b的夹角)．