反三角函数怎么求值域(反三角函数的运算有哪些公式)
反三角函数的运算主要包括三类:一类是直接求反三角函数的值,它的值是一个角度,或弧度;第二类是运用反三角函数的运算法则和公式进行运算;最后一类主要出现在高数中,包括求与反三角函数有关的极限、导数、微分和积分等。
第一类反三角函数的运算,又包括求特殊角度或弧度,和求一般角度和弧度两种。
与三角函数类似的,我们知道,30度、45度和60度或对应的弧度的三角函数都是已知的,因此,这几个角度的三角函数值对应的反三角函数,就是可求的。比如,sin30度=1/2,所以arcsin(1/2)=30度。可以近似地把求反三角函数的过程,看作是求三角函数的逆过程。因为它们之间带有互为反函数的意义,不过它们只在三角函数的一个特定周期内互为反函数,这点一定要注意。
另外,比如15度,18度,75度等,这些可以利用三角函数公式求得三角函数值的角度或弧度,它们的三角函数值的反三角函数,也是可求的。例如:arcsin((根号6-根号2)/4)=15度。
最后就是那些只能通过查三角函数表,或利用计算器求得的三角函数值,它们的反三角函数,同样也只能通过查反三角函数表,或利用计算器求得了。比如arcsin0.1约等于5.74度,即5度44分24秒。
第二类运算常用的反三角函数运算法则和公式包括:
(1)cos(arcsinx)=sin(arccosx)=根号(1-x^2);
(2)arcsin(-x)=-arcsinx;
(3)arccos(-x)=π-arccosx;
(4)acrtan(-x)=-arcctanx;
(5)arccot=π-arccotx;
(6)arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2等
举个最简单的例子,比如计算:arccos(-0.2)-arcsin0.2.
利用公式(3)(6),原式=π-arccos0.2-arcsin0.2=π-(arcsin0.2+arccos0.2)=π-π/2=π/2.
第三类运算主要是基于反三角函数的导函数,以及上面两类运算的。几个反三角函数的导数分别是:
(arcsinx)'=1/根号(1-x^2); (arccosx)'=-1/根号(1-x^2);
(arctanx)'=1/(1+x^2); (arccotx)'=-1/(1+x^2).
例如:求lim(x->0)∫(0->x)(arcsintdt/x^2).
原式=lim(x->0)(arcsinx/(2x))=lim(x->0)((1/根号(1-x^2))/2)=1/2.
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