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无理数的概念(无理数的证明方法）

2022-02-22 16:36:19小樱623

无理数

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。垍頭條萊

数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。萊垍頭條

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

证明方法

欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法：

证明:是无理数

假设不是无理数

∴是有理数

令=( p、q互质且p0 ，q0)

两边平方得2=（）²

即2=

通过移项，得到：

=

∴必为偶数

∴ p必为偶数

令p=2m

则=

∴=

化简得

=

∴必为偶数

∴ q必为偶数

综上，q和p都是偶数

∴ q、p互质，且q、p为偶数

矛盾 原假设不成立

∴为无理数

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