您现在的位置是:首页 > 高等教育

高等教育

三棱锥的体积公式是什么 为什么锥体的体积系数是1/3

学了高中立体几何,我们都知道锥体的体积是1/3sh。有人可能不禁要问为什么系数是1/3,为什么不是1/2或1/4?今天我们就来说说这个问题。

三棱锥的体积公式是什么 为什么锥体的体积系数是1/3

首先我们知道体积是表示立体图形占据立体“空间”的多少,就像下面三个几何体包含“小正方体”的多少一样:

为什么锥体体积系数是1/3?

这样我们就能理解长方体的体积为什么是长×宽×高(相当于是计算长方体中包含的单位“小正方体”的数目),从而平直规整的柱体的体积也能理解了。

对于不规则的柱体,像下面这种:

为什么锥体体积系数是1/3?

这种柱体的体积又怎么计算呢?

对于这样的柱体可以通过祖暅原理来理解:

祖暅原理:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.

为什么锥体体积系数是1/3?

如下图:完全相同且数目一样的两堆书叠成两摞,一摞竖直叠,一摞斜着叠,(分别对应一个直棱柱和一个斜棱柱)用平行于底面的截面截这两个棱柱,截得的截面面积是处处相等的,而它们的体积显然是相等的,这是祖暅原理的直观体现。

为什么锥体体积系数是1/3?

由祖暅原理知底面积相等的如下三个柱体的体积都相等:

为什么锥体体积系数是1/3?

不过锥体(棱锥、圆锥及不规则锥体)的体积,却不能直接按上述方法定义。我们可以回想小学时推导三角形的面积公式:两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形,从而三角形的面积是:

为什么锥体体积系数是1/3?

我们可以效仿这种思维,如下图:

为什么锥体体积系数是1/3?

三棱柱ABC-A'B'C'的底面积(即△ABC的面积)为s,高(即点A'到平面ABC的距离)为h.则它的体积为sh.沿平面A'BC和平面A'B'C,将这个三棱柱分割为3个三棱锥,其中三棱锥1,2的底面积相等(S△A'AB=S△A'B'B),高也相等(点C到平面ABB'A'的距离);三棱锥2,3也有相等的底面积(S△B'BC=S△B'C'C)和相等的高(点A'到平面BCC'B'的距离)。因此,这三个三棱锥的体积相等,每个三锥的体积是1/3sh.

那四棱锥,五棱锥……以至于不规则锥体的体积又怎么计算呢?我们并不能直观地对所有棱锥用“分割转化”的方法求得体积。可以这样考虑,因为棱锥是一个3维空间的实体,从“等底等高”的柱体到锥体,可以看作是在维度上收缩了1/3,因此要乘以1/3。之所以说收缩了1/3,是由于这是从一个原始的面,到线,到点,跨越了三个维度。

为什么锥体体积系数是1/3?

这样的解释还不够清楚,更严格的论证需要用到积分原理(关于积分可以参见前面的文章——怎样理解定积分)。首先我们知道从点、线、面、体的逐级跨越中,逐渐有了长度、面积、体积的度量的逐级升级(点的度量为零)。

先看两个例子:

圆的面积公式对半径求导:

为什么锥体体积系数是1/3?

居然得到了圆的周长公式!

圆的周长公式对半径积分:

为什么锥体体积系数是1/3?

居然得到了圆的面积公式!

这里其实包含有定积分“微元法”的原理,圆的面积的“微元”是圆的周长,如图:

为什么锥体体积系数是1/3?

圆的面积其实就是把圆的面积微元(圆周长)按半径积分(0为积分下限,半径长为积分上限)的结果。

再比如三角形的面积s=1/2ah ,是将三角形取“面积微元”,如平行于底做一系列平行线,得到面积的“微元”——比例线段。再将微元函数(比例线段长),按高h积分(0位积分下限,h为积分上限)得到三角形的面积:

为了计算,我们先要建立一个积分变量的x轴,原点为O,正方向竖直朝下,考虑过轴上任意一点x处的平行线(微元分割线),其长度为f(x)

为什么锥体体积系数是1/3?

由相似可知:

为什么锥体体积系数是1/3?

所以

为什么锥体体积系数是1/3?

这里f(x)(即比例线段长)就是三角形面积的微元函数,将f(x)按高h积分便得到三角形的面积:

为什么锥体体积系数是1/3?

类比面积,我们可以用积分来求体积,比如正方体的体积

为什么锥体体积系数是1/3?

将正方体取“体积微元”,如分成无数个平行于底面的平行“切片”,切片的面积为 f(x)(即体积的微元函数),这里的f(x)是常数函数,f(x)= a²,将f(x)按高a积分就得到正方体的体积:

为什么锥体体积系数是1/3?

现在回到正题,为什么锥体体积系数是1/3?

对如下任意锥体:

为什么锥体体积系数是1/3?

我们以顶点O为原点,建立积分变量的x轴(正方向竖直朝下):

为什么锥体体积系数是1/3?

取“体积微元”(平行于底面的平行“切片”),切片的面积为f(x)(即体积的微元函数),设底面积为s,高为h.因为底面积与截面面积是相似的,由两个相似图形的面积比等于相似比的平方知:

为什么锥体体积系数是1/3?

为什么锥体体积系数是1/3?

将f(x)按高h积分得到锥体的体积:

为什么锥体体积系数是1/3?

这里的系数1/3,本质上是因为

为什么锥体体积系数是1/3?

由“微积分基本定理”(“牛顿—莱布尼茨公式”)知:

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且

为什么锥体体积系数是1/3?

那么有

为什么锥体体积系数是1/3?

这里

为什么锥体体积系数是1/3?

可简记为

为什么锥体体积系数是1/3?

显而易见x²的原函数为1/3x³ ,所以锥体的体积便有了系数1/3。

到这里你明白为什么锥体(棱锥、圆锥及不规则锥体)体积系数是1/3了吗?

相关问答