幂函数的定义(幂函数的性质)
幂函数是基本初等函数之一。
一般地。形如y=x(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x 、y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。
幂函数的性质
幂函数的图象一定在第一象限内,一定不在第四象限,至于是否在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
正值性质
当α>0时,幂函数y=x有下列性质:
a、图像都经过点(1,1)(0,0);
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;
c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0;
负值性质
当α<0时,幂函数y=x有下列性质:
a、图像都通过点(1,1);
b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)
c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。
零值性质
当α=0时,幂函数y=x有下列性质:
a、y=x的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。
讨论分析
由于x大于0是对α的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到:
(1)所有的图像都通过(1,1)这点.(α≠0) α>0时 图象过点(0,0)和(1,1)。
(2)单调区间:
当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;
②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;
③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。
当α为分数时,α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:
①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;
②当α>0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递增;
③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;
④当α<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
(3)当α>1时,幂函数图形下凹(竖抛);
当0<α<1时,幂函数图形上凸(横抛)。
当α<0时,图像为双曲线。
(4)在(0,1)上,幂函数中α越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中α越大,函数图像越远离x轴。
(5)当α<0时,α越小,图形倾斜程度越大。
(6)显然幂函数无界限。
(7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数 {x|x≠0}。
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